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第289章 期末考试·第二天(1 / 2)

1997年1月21日星期二腊月十三阴

第二天。

早晨醒来时,天是铅灰色的。厚厚的云层压得很低,像是浸了水的棉絮,沉甸甸地悬在头顶。窗玻璃上凝结着水雾,用手指一划,能划出一道清晰的痕迹。

院子里地面湿漉漉的,昨晚下过小雨。藤萝架的枯枝上挂满了水珠,在灰暗的光线下闪着微光,像是哭过的眼睛。

六点起床,洗漱,吃早饭。母亲煮了面条,说是“顺溜”,寓意考试顺利。

我慢慢吃着,脑子里全是数学公式:三角函数、立体几何、数列……像走马灯一样转个不停。最后那道立体几何题的解法在脑海里反复演练——辅助线该怎么连?向量法真的错了吗?

父亲坐在对面,没说话,但眼神一直跟着我。

六点半,推车出门。

空气又湿又冷,吸进鼻子里有种黏腻的感觉。骑到晓晓家时,她已经在院门口等我了,围巾裹得很严实,脸色有些苍白。

“紧张吗?”她问。

“紧张。”我如实说,“数学是关键。”

“嗯。”她点头,“我也是。昨晚我又把立体几何的几种典型辅助线画了一遍。”

我们骑上车,在湿滑的路上缓慢前行。车轮碾过积水,溅起细小的水花。街道很安静,只有零星几个行人,都低着头,步履匆匆。

到学校时,天刚蒙蒙亮。校园里比昨天更安静,学生们站在教学楼前,手里拿着数学公式小抄,嘴唇飞快地动着,在做最后的记忆。

第三考场,17号。

我走进去,坐下。桌面上很干净,只有一支笔,一张草稿纸。我深呼吸,闭上眼睛,在心里默背三角函数公式,同时回想昨晚临睡前突然闪过的一个念头——那道立体几何题,也许可以用“中位线+面面平行”的思路?

七点五十,监考老师走进来。

是数学老师莫斯理。他今天穿得很正式,深灰色的中山装,头发梳得一丝不苟。手里拿着密封的试卷袋,表情比平时更严肃。

“同学们,”他的声音很平静,“现在发卷。”

试卷传下来。我接过自己的那份,快速扫了一眼——

《1996-1997学年度第一学期高一年级期末考试·数学》

题量很大,题型齐全:选择题、填空题、解答题。最后两道是大题,一道立体几何证明,一道数列应用题。

我深吸一口气,写下姓名、考号、考场号。

开考铃响了。

我从第一题开始做。

选择题大多是基础题,集合运算、函数性质、三角函数值……这些在复习时已经滚瓜烂熟,做起来很顺手。

填空题考细节,需要准确计算。三角函数的周期、立体几何的夹角、数列的通项公式……我一一填上,笔尖在草稿纸上飞快演算。

解答题开始上难度了。

第一道,三角函数图像与性质的综合。需要画图,分析周期性、对称性、单调区间……我画了坐标轴,标出关键点,一步步推导。

第二道,立体几何证明。线面平行,面面垂直,需要画三条辅助线。我在草稿纸上画出立体图,标出已知条件,寻找证明思路。

时间一分一秒地流逝。教室里很安静,只有笔尖划过纸面的沙沙声,还有偶尔响起的、压抑的叹息声。

窗外的天始终是灰蒙蒙的,没有阳光,只有惨白的天光从窗户透进来,把教室照得像是黑白照片。

十点,我做完了前五道解答题。

还剩最后一道——立体几何证明大题。

我翻到那一页,心脏猛地一跳——正是模拟测验那道让我卡壳的题!图形一模一样,只是数据略有调整。

“如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,PA⊥底面ABCD,PA=AB。M、N分别是PB、PD的中点。求证:MN∥平面PAC。”

图很复杂,线条交错。我仔细看了三遍,深吸一口气,强迫自己冷静。

这次,我不会再卡壳了。

我在草稿纸上重新画图,标出所有已知条件。脑海里快速闪过几种思路:传统几何法?向量法?还是……昨晚想到的那个新思路?

模拟测验时,我用向量法算出来MN不平行于平面PAC,但直觉告诉我题目不可能错。昨晚躺在床上,我突然想到——也许是我的法向量求错了?或者,MN不一定非要平行于平面PAC内的某条直线,只要能证明MN与平面PAC内的两条相交直线都平行就行?

但时间紧迫,不容多想。

我决定先用传统几何法试一下。连接AC,连接BD,连接PO(O是底面中心)……辅助线画了一条又一条,但总是差那么一点。

时间一分一秒地流逝。十点二十,十点三十……

手心开始冒汗。

我瞥了一眼窗外,灰蒙蒙的天像是要压下来。突然,脑海里闪过昨天岳老板的话——“化归。把复杂的问题转化为简单的问题。”

对,化归!

这道题看似复杂,但核心是什么?证明线面平行,通常有两种思路:一是证明这条线平行于平面内的一条直线;二是证明这条线所在的平面平行于该平面。

MN是△PBD的中位线,所以MN∥BD。

如果我能证明BD∥平面PAC,那么MN∥平面PAC。

那么,如何证明BD∥平面PAC?

既然BD在底面ABCD内,而底面与平面PAC的交线是AC。如果BD∥AC,问题就解决了。但正方形的对角线是垂直的,不可能平行。

此路不通。

我换思路。既然MN∥BD,而BD不平行于平面PAC,那么也许MN可以通过其他方式与平面PAC建立关系?

突然,灵光一闪。

连接AN、CM。

因为N是PD中点,PA=AD(正方形),所以AN是△PAD的中线,也是……不,等等。

我重新画图,标出M、N的位置。因为M、N是中点,所以MN是△PBD的中位线,MN∥BD且MN=?BD。

现在,连接AC交BD于O。因为底面是正方形,所以O是BD中点,也是AC中点。

连接PO。因为PA⊥底面,所以PA⊥BD。又因为底面是正方形,所以AC⊥BD。

所以BD⊥PA,BD⊥AC,所以BD⊥平面PAC。

等等,BD⊥平面PAC?那BD就不可能与平面PAC平行了!

我愣住了。那题目要求证明MN∥平面PA∥BD,BD⊥平面PAC,那么MN应该也垂直于平面PAC?不对,平行关系不传递垂直关系。

思路全乱了。

我看了一眼时间——十点四十。还剩二十分钟。

冷汗从额头渗出来,滴在卷子上,晕开一小片墨迹。我闭上眼睛,深呼吸,试图让自己冷静下来。

模拟测验的失败,父亲在台历上画的红圈,晓晓说的“一个都不能少”,肖恩那句“我会拼命的”……所有这些画面在脑海里闪过,最后定格在岳老板说的“选择权是幸福”。

是啊,我有选择权选择文科,选择证明自己。那现在,我也有选择权——选择不放弃,选择再试一次。

我重新读题,一个字一个字地读。

“求证:MN∥平面PAC。”

线面平行的定义是什么?一条直线与一个平面无公共点,且该直线平行于该平面内的一条直线。

所以,我只需要在平面PAC内找到一条与MN平行的直线。

平面PAC内的直线有PA、AC、PC。

MN可能平行于哪条?

MN∥BD,所以如果BD平行于其中一条,问题就解决。但BD⊥平面PAC,不可能平行于任何一条。

那么,也许MN可以通过其他直线与平面PAC建立关系?

突然,我想起昨天复习时做过的另一道题——通过构造平行四边形证明线面平行。

对!连接MC。

因为M是PB中点,C是……不对。

我快速在草稿纸上画图。连接MC,因为M是PB中点,C是BC的……等等,C是顶点。

思路又断了。

十点五十。还剩十分钟。

我决定先做最后一道数列题。建立模型花了五分钟,计算又花了五分钟。十点五十五,做完了。

还剩五分钟,回头攻那道立体几何。

我盯着图,脑子飞快地转。突然,一个念头闪过——也许,我根本不需要证明MN平行于平面PAC内的某条直线,只需要证明MN所在的某个平面平行于平面PAC?

MN所在的平面……可以是平面MNC?但C在底面,不在PB、PD上。

时间到了。

“时间到,停笔。”

我放下笔,看着那道只写了一半的题,心里涌起一阵强烈的无力感。我明明做了那么多准备,明明想了那么多思路,为什么还是解不出来?

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